← уравнения и матрицы ›Студент, решающий задачи по линейной алгебре · Пошагово
27 мая 2026 г. · 3 мин чтения
Как решить систему уравнений методом Крамера
Чтобы решить систему 3 линейных уравнений с 3 неизвестными методом Крамера, найдите главный определитель Δ. Если Δ ≠ 0, найдите Δ₁, Δ₂, Δ₃, заменив соответствующий столбец на столбец свободных членов. Корни: x = Δ₁/Δ, y = Δ₂/Δ, z = Δ₃/Δ. Пример: для системы x + y + z = 6, 2x + 3y + z = 11, x – y + 2z = 5 получим Δ = 5, Δ₁ = 10, Δ₂ = 5, Δ₃ = 15, откуда x = 2, y = 1, z = 3.
Что понадобится для расчёта
Для применения метода Крамера вам потребуется сама система линейных уравнений (количество уравнений должно равняться числу неизвестных), умение вычислять определители матриц 2×2 и 3×3, а также знание формул Крамера. Вам понадобятся числовые значения коэффициентов при неизвестных и свободные члены.
Пошаговый расчёт — 6 шагов
- 1Шаг 1: Запишите систему в матричной формеПусть дана система: x + y + z = 6, 2x + 3y + z = 11, x – y + 2z = 5. Запишите матрицу коэффициентов A = [[1,1,1],[2,3,1],[1,-1,2]] и столбец свободных членов B = [6,11,5]ᵀ.
- 2Шаг 2: Вычислите главный определитель ΔΔ = det(A) = 1*(3*2 - 1*(-1)) - 1*(2*2 - 1*1) + 1*(2*(-1) - 3*1) = 1*(6+1) - 1*(4-1) + 1*(-2-3) = 7 - 3 - 5 = -1. Поскольку Δ ≠ 0, система имеет единственное решение.
- 3Шаг 3: Вычислите Δ₁, заменив первый столбец на BМатрица A₁ = [[6,1,1],[11,3,1],[5,-1,2]]. Δ₁ = 6*(3*2 - 1*(-1)) - 1*(11*2 - 1*5) + 1*(11*(-1) - 3*5) = 6*(6+1) - 1*(22-5) + 1*(-11-15) = 42 - 17 - 26 = -1.
- 4Шаг 4: Вычислите Δ₂, заменив второй столбец на BМатрица A₂ = [[1,6,1],[2,11,1],[1,5,2]]. Δ₂ = 1*(11*2 - 1*5) - 6*(2*2 - 1*1) + 1*(2*5 - 11*1) = 1*(22-5) - 6*(4-1) + 1*(10-11) = 17 - 18 - 1 = -2.
- 5Шаг 5: Вычислите Δ₃, заменив третий столбец на BМатрица A₃ = [[1,1,6],[2,3,11],[1,-1,5]]. Δ₃ = 1*(3*5 - 11*(-1)) - 1*(2*5 - 11*1) + 6*(2*(-1) - 3*1) = 1*(15+11) - 1*(10-11) + 6*(-2-3) = 26 + 1 - 30 = -3.
- 6Шаг 6: Найдите корни по формулам Крамераx = Δ₁/Δ = (-1)/(-1) = 1, y = Δ₂/Δ = (-2)/(-1) = 2, z = Δ₃/Δ = (-3)/(-1) = 3. Проверка: 1+2+3=6, 2*1+3*2+3=2+6+3=11, 1-2+2*3=1-2+6=5 — верно.
Частые ошибки при расчёте
Неправильное вычисление определителя 3×3: путают знаки при разложении по строке или столбцу.
Замена не того столбца при вычислении Δᵢ: путают, какой столбец заменять на свободные члены.
Деление на нулевой определитель: если Δ = 0, метод Крамера не применим — система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений.
Частые вопросы
Что делать, если главный определитель равен нулю?
Если Δ = 0, система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечно много. В этом случае метод Крамера не подходит — используйте метод Гаусса или исследование на совместность.
Можно ли методом Крамера решить систему из 2 уравнений с 2 неизвестными?
Да, формула та же: для системы a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂ находят Δ = a₁b₂ – a₂b₁, Δ₁ = c₁b₂ – c₂b₁, Δ₂ = a₁c₂ – a₂c₁, затем x = Δ₁/Δ, y = Δ₂/Δ. Пример: x + y = 3, 2x – y = 0 → Δ = 1*(-1)-2*1 = -3, Δ₁ = 3*(-1)-0*1 = -3, Δ₂ = 1*0-2*3 = -6 → x = 1, y = 2.
Как вычислить определитель 3×3 быстро?
Используйте правило Саррюса: запишите матрицу и допишите справа два первых столбца, затем перемножьте элементы по диагоналям со знаками. Или разложите по первой строке: det = a₁₁·M₁₁ – a₁₂·M₁₂ + a₁₃·M₁₃, где M₁ⱼ — миноры.
Что такое минор элемента матрицы?
Минор элемента aᵢⱼ — это определитель матрицы, полученной вычёркиванием i-й строки и j-го столбца. Например, для элемента a₁₁ матрицы 3×3 минор M₁₁ — определитель подматрицы 2×2 из оставшихся строк 2,3 и столбцов 2,3.
Когда метод Крамера неэффективен?
При большом количестве уравнений (4 и более) вычисление определителей становится громоздким. Для систем с 4+ неизвестных удобнее метод Гаусса или матричный метод.