← Все калькуляторыКалькулятор матриц и систем уравнений
Решите систему линейных уравнений с 2 или 3 неизвестными (метод Крамера) или умножьте две матрицы 2×2 — результат сразу.
Реклама
Кредитные карты — выберите лучшее предложение
Сравни.ру — сравнение карт за 2 минуты. Решение онлайн.
Подобрать карту →Метод Крамера: как работает
Метод Крамера применяется для систем с таким же количеством уравнений, как неизвестных. Алгоритм: вычислить определитель D из матрицы коэффициентов. Если D ≠ 0, вычислить Dx, Dy (Dz) — заменив соответствующий столбец коэффициентов на столбец свободных членов. Решение: x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D.
Умножение матриц: правила и пример
Матрицы A и B можно перемножить только если число столбцов A равно числу строк B. Результат C имеет размер (строки A) × (столбцы B). Элемент C[i][j] = скалярное произведение i-й строки A и j-го столбца B. Матричное умножение ассоциативно (A×(B×C) = (A×B)×C), но некоммутативно.
Определитель матрицы и его применение
Определитель (det) — число, характеризующее матрицу. det = 0 означает вырожденность: матрица необратима, система уравнений либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. Геометрически det описывает коэффициент масштабирования площади (для 2×2) или объёма (для 3×3) при линейном преобразовании.
Частые вопросы
Как решить систему линейных уравнений методом Крамера?
Метод Крамера для системы 2×2: вычислите главный определитель D из коэффициентов. Затем Dx — заменив первый столбец свободными членами, Dy — второй столбец. Решение: x = Dx/D, y = Dy/D. Если D = 0, единственного решения нет.
Как вычислить определитель матрицы 2×2?
Определитель матрицы |a b; c d| = ad − bc. Для матрицы [[1, 2], [3, 4]]: det = 1×4 − 2×3 = 4 − 6 = −2. Определитель равен нулю, если строки (или столбцы) линейно зависимы — такая матрица называется вырожденной.
Как перемножить матрицы?
Умножение матриц A (m×n) и B (n×k): элемент C[i][j] = сумма A[i][t] × B[t][j] для всех t. Для 2×2: C[0][0] = A[0][0]×B[0][0] + A[0][1]×B[1][0]. Важно: матричное умножение некоммутативно, то есть A×B ≠ B×A в общем случае.
Как решить систему из 3 уравнений?
Для системы 3×3 метод Крамера вычисляет определитель D из коэффициентов (разложение по первой строке: D = a₁(b₂c₃−b₃c₂) − b₁(a₂c₃−a₃c₂) + c₁(a₂b₃−a₃b₂)) и три определителя Dx, Dy, Dz. Можно также использовать метод Гаусса.
Что значит несовместная система уравнений?
Несовместная система — не имеет решений (уравнения противоречат друг другу). Неопределённая система — бесконечно много решений (уравнения зависимы). При методе Крамера в обоих случаях главный определитель D = 0. Калькулятор показывает ошибку при D = 0.