← дата и разница дат ›Студент, решающий задачи по математике · Пошагово
23 мая 2026 г. · 2 мин чтения
Как вычислить определённый интеграл формула пример
Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). Например, ∫₀¹ x²dx = 1/3 ≈ 0.333. Ниже — пошаговый расчёт с конкретными примерами.
Что понадобится для расчёта
Для вычисления определённого интеграла нужно знать: подынтегральную функцию f(x), пределы интегрирования a и b, а также первообразную F(x) функции f(x). Если первообразная неизвестна, можно использовать численные методы (например, метод прямоугольников). В этой статье разберём формулу Ньютона-Лейбница на примерах.
Пошаговый расчёт — 6 шагов
- 1Шаг 1: Запишите интеграл и определите пределыПусть нужно вычислить ∫₀¹ x² dx. Нижний предел a = 0, верхний b = 1. Подынтегральная функция f(x) = x².
- 2Шаг 2: Найдите первообразную F(x)Первообразная для x² — это x³/3. Проверка: производная (x³/3)' = x². В общем случае: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, где n ≠ -1.
- 3Шаг 3: Подставьте верхний предел в первообразнуюВычислите F(b) = F(1) = 1³/3 = 1/3 ≈ 0.3333.
- 4Шаг 4: Подставьте нижний предел в первообразнуюВычислите F(a) = F(0) = 0³/3 = 0.
- 5Шаг 5: Примените формулу Ньютона-ЛейбницаВычтите: F(b) − F(a) = 1/3 − 0 = 1/3. Таким образом, ∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.3333. Это площадь под кривой y = x² от x=0 до x=1.
- 6Шаг 6: Другой пример — ∫₁² (3x² + 2x) dxНаходим первообразную: F(x) = x³ + x². F(2) = 8 + 4 = 12, F(1) = 1 + 1 = 2. Результат: 12 − 2 = 10. Значение интеграла равно 10.
Частые ошибки при расчёте
Забывают подставить нижний предел: нужно вычитать F(a), а не просто подставить верхний.
Неправильно находят первообразную: например, для f(x)=1/x забывают, что первообразная — ln|x|, а не x⁰/0.
Путают порядок: всегда F(b) − F(a), а не наоборот.
Ошибки в знаках при интегрировании сложных функций, особенно с отрицательными степенями.
Частые вопросы
Какая формула определённого интеграла?
Основная формула: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a), где F — первообразная f. Это формула Ньютона-Лейбница.
Как вычислить ∫₀² (4x³) dx?
Первообразная: x⁴. F(2)=16, F(0)=0. Ответ: 16.
Что делать, если первообразная не выражается элементарно?
Используют численные методы: метод прямоугольников, трапеций или Симпсона. Например, ∫₀¹ e^(x²)dx не имеет элементарной первообразной, его вычисляют приближённо.
Можно ли вычислить определённый интеграл через площадь?
Да, геометрически определённый интеграл равен площади под графиком f(x) на отрезке [a,b] (с учётом знака). Для f(x)=x от 0 до 2 площадь треугольника = 2.
Как проверить результат?
Продифференцируйте полученную первообразную: если получите исходную f(x), то интеграл найден верно. Или используйте онлайн-калькулятор интегралов.